simplification par l'algèbre de Boole : exercices corrigés 4

 

Algèbre de Boole: simplification des equations logiques

Dans l'exercice, nous avons une équation logique longue, et sa simplification nécessite plusieurs étapes. Cependant, comme je l'ai mentionné, chaque expression peut être simplifiée de plusieurs manières, et la meilleure approche est la plus courte. Par conséquent, je vais vous fournir la solution de l'exercice en utilisant la méthode la plus rapide possible.

algèbre de boole: Exercice 04

Simplifiez l'expression booléenne F aussi rapidement que possible en utilisant les lois et théorèmes de l'algèbre booléenne..

algèbre de boole: correction 

Dans cet exercice, nous n'allons pas utiliser l'expansion, car c'est une méthode longue et complexe avec une forte probabilité d'erreurs. Au lieu de cela, nous utiliserons la factorisation, et ainsi, nous rechercherons les facteurs communs et les mettrons en évidence avec une couleur spécifique pour rendre l'explication claire.

Dans les deux premiers termes, il y a un facteur commun, qui est (a + b), mis en évidence en noir. Cependant, les deux autres termes n'ont pas de facteurs communs. Ici, nous allons utiliser une astuce ingénieuse : ajouter des termes à l'équation pour créer des facteurs communs sans modifier la valeur de l'équation. Alors, comment pouvons-nous faire cela ?

Nous avons appris dans les théorèmes booléens que : ( A + A = A ) et ( A . A = A ). Cela signifie que si la même expression est répétée dans une équation, elle peut être simplifiée en une seule instance de cette expression. Dans notre cas, nous appliquerons cette règle à l'inverse. Nous avons une seule expression, et nous la répéterons plusieurs fois pour créer des facteurs communs. Par exemple :

(a + b + c) = (a + b + c) . (a + b + c) . (a + b + c) .

Après avoir répété la première expression  (a + b + c) , nous avons maintenant plusieurs facteurs communs. Nous les avons mis en évidence dans différentes couleurs après avoir réorganisé les termes pour que les facteurs communs soient côte à côte.

Après avoir effectué l'opération de factorisation, nous obtenons l'expression suivante :

Nous appliquons le théorème ( A.A = 0 ) à l'expression finale obtenue après la factorisation, ce qui donne :

Dans la nouvelle expression, nous suivrons les mêmes étapes : nous dupliquerons l'un des termes pour créer des facteurs communs, puis nous mettrons en évidence ces facteurs communs avec des couleurs spécifiques pour plus de clarté.

À ce stade, nous effectuerons directement l'opération d'expansion pour obtenir l'expression booléenne simplifiée.