Algèbre de Boole Exercice Corrigé 05

 

simplification des equations logiques par Algèbre de Boole

algèbre de boole: Exercice 05

En utilisant les théorèmes et les lois de l'algèbre de Boole, vérifier la validité des deux équations X et Y:

algèbre de boole: correction 

Pour X = A.B + A.C.D + B.D = A.B + B.D  

L'expression booléenne peut être simplifiée de plusieurs manières, nous allons la simplifier de deux façons différentes pour l'expression X.

La méthode toujours préférée et la plus courte pour réduire une expressionlogique est la factorisation. Dans certains cas, il n'y a pas de facteurs communs à factoriser, donc nous devons ajouter des parties à l'expression de manière correcte sans en changer la valeur, comme multiplier par 1 puis le remplacer par toute expression équivalant à 1, ou ajouter 0 puis le remplacer par toute expression valant 0.

X = AB + (ACD).1 + BD     avec 1=B+B

X = AB + (ACD).(B+B) + BD

Après avoir ajouté B+B qui équivaut à 1, nous procédons à la distribution sur l'expression ACD.

X = AB + ACDB+ ACDB + BD

Après l'opération de distribution, réorganisez l'expression de manière à regrouper les facteurs communs les uns à côté des autres et identifiez-les avec des couleurs pour plus de clarté.

X = AB + ABCD+ ACBD+ BD

Après l'opération de factorisation, les expressions à l'intérieur des parenthèses restent égales à 1, et ainsi nous parvenons à l'expression finale.

X = AB (1+CD)+ (AC+1) BD

X = AB +  BD

Passons à la deuxième méthode de simplification. Dans ce cas, nous appliquerons la loi de Boole à l'envers pour ajouter une expression qui nous fournira un facteur commun: 

X = AB+ BD+AD + ACD  

(Nous avons ajouté AD car :AB+ BD+AD = AB+ BD

Après avoir ajouté AD, nous recherchons les facteurs communs et procédons à la factorisation.

X = AB+ BD+AD + ADC 

X = AB+ BD+AD (1+C) 

X = AB+ BD+AD 

X = AB+ BD 

Passons à la deuxième expression et, de la même manière, nous essaierons d'ajouter une nouvelle expression sans modifier la valeur de l'équation pour produire des facteurs communs facilitant la factorisation.

Y =(A+B)(A+C)(B+C) 

Y =(A+B)(A+C)(B+C)+0

Y =(A+B)(A+C)(B+C)+(A.A) 

Après avoir ajouté l'expression (A.A) qui équivaut à 0, nous procédons à l'opération de distribution, puis nous identifions les facteurs communs et effectuons la factorisation.

Y =(A+B)(A+C)(B+C+A)(B+C+A) 

Y =(A+B)(B+A+C)(A+C)(B+C+A) 

Y =(A+B)(1+C)(A+C)(B+1) 

Y =(A+B)(A+C)