Qu'est-ce que la table de Karnaugh et quel est son rôle ?
Dans les articles précédents, nous avons abordé la table de vérité, qui est une méthode de représentation d'une fonction logique sous forme de tableau contenant les entrées et les sorties. À partir de la table de vérité, nous avons appris à extraire les équations algébriques, ou ce que nous appelons les expressions booléennes. Nous les extrayons sous deux formes : la première expression, appelée Somme de Produits (SdP), et la seconde, appelée Produit de Sommes (PdS).
Ensuite, nous avions besoin des règles et lois de l'algèbre booléenne pour simplifier ces expressions, lesquelles étaient souvent longues et susceptibles d'entraîner des erreurs. C'est ici qu'intervient la solution proposée par le chercheur Maurice Karnaugh, qui a conçu une table ressemblant à une table de vérité, mais légèrement différente, et qui porte son nom : la table de Karnaugh.
L'avantage majeur de ce tableau « magique » est qu'il nous permet d'extraire directement l'expression algébrique sous sa forme simplifiée à partir du tableau, sans avoir besoin de recourir aux règles et lois de l'algèbre booléenne pour la simplification (sauf dans certains cas particuliers que nous étudierons).
Comment construire une table de Karnaugh ?
Comme nous l'avons mentionné précédemment, la table de Karnaugh ressemble à une table de vérité. En réalité, nous nous basons sur la table de vérité pour construire et remplir la table de Karnaugh. Autrement dit, il est nécessaire d'établir d'abord la table de vérité et de déterminer les états de sortie, puis de la convertir en table de Karnaugh pour extraire l'expression algébrique simplifiée. Alors, comment construit-on une table de Karnaugh ?
Table de Karnaugh à deux entrées (variables)
Dans ce cas, il est effectivement facile d'extraire l'expression algébrique sans nécessairement recourir à une table de Karnaugh, car l'expression sera simple et son extraction à partir de la table de vérité suffira, sans nécessiter un effort considérable.
Cependant, il est essentiel de se familiariser avec la structure de la table de Karnaugh à deux entrées, qui se présente sous la forme suivante :
Quant aux quatre cases vides, elles représentent l'emplacement où nous inscrirons les états de la sortie F, bien que nous n'écrivions généralement pas le nom de la sortie dans la table de Karnaugh elle-même.
Très bien. Maintenant, prenons un exemple concret de table de vérité avec des valeurs définies pour la sortie F, et remplissons la table de Karnaugh correspondante.
En ce qui concerne l'ordre des variables dans une table de Karnaugh, il est effectivement possible de le modifier selon vos préférences personnelles. Il n'est pas nécessaire de suivre un ordre spécifique. Par exemple, on peut placer B sur l'axe horizontal et A sur l'axe vertical, comme illustré dans le schéma ci-dessous.
Mais attention ! Tout changement dans l'ordre des variables dans la table de vérité OU dans la table de Karnaugh affectera l'ordre de remplissage des valeurs de sortie F.
Table de Karnaugh à trois variables
Passons maintenant à la table de vérité à 3 variables ou entrées. Dans ce cas, nous prenons deux variables sur l'axe horizontal du tableau (par exemple AB) et la troisième variable sur l'axe vertical, comme illustré dans le schéma ci-dessous.
En ce qui concerne l'axe horizontal qui contient deux variables, il existe une règle importante à respecter lors de l'attribution des valeurs booléennes à AB : un seul bit doit changer lors du passage d'une colonne à la suivante. Il est impossible de changer les deux bits simultanément entre deux colonnes adjacentes.
On peut modifier l'ordre d'assignation des valeurs AB dans une table de Karnaugh tant que la règle que nous avons mentionnée n'est pas violée. Par conséquent, une table de Karnaugh peut être écrite sous plusieurs formes, et toutes sont correctes. Par exemple, ces tableaux sont tous valides :
Cependant, bien que toutes soient correctes, il est préférable d'utiliser une seule forme de tableau, celle qui est couramment employée par les enseignants, les ingénieurs et dans les manuels scolaires, afin d'éviter toute confusion initiale.
Remplir une table de Karnaugh à partir d'une table de vérité
Pour commencer, nous pouvons associer chaque ligne de la table de vérité à sa case correspondante dans la table de Karnaugh, et placer la valeur de la sortie dans la cellule appropriée.
Lors du remplissage d'une table de Karnaugh avec les valeurs de la sortie F, on observe un ordre spécifique de remplissage qu'on peut mémoriser et appliquer pour remplir toutes les tables similaires avec le même ordre
Cependant, il faut noter, comme nous l'avons mentionné précédemment, que cet ordre n'est valable que dans ce cas précis concernant la table de vérité et la table de Karnaugh. Si nous modifions l'ordre des entrées dans la table de vérité ou si nous changeons l'ordre des valeurs AB dans la table de Karnaugh, l'ordre de remplissage changera également.
C'est pourquoi nous vous recommandons de suivre un seul ordre, celui qui est le plus courant et le plus largement utilisé.
Par exemple, je vais modifier l'ordre des entrées dans la table de vérité et nous observerons la différence.
Table de Karnaugh à quatre variables
Passons maintenant à la table de vérité la plus grande avec 4 variables ou entrées. Dans ce cas, nous dessinons une table de Karnaugh en plaçant deux variables sur l'axe horizontal et deux variables sur l'axe vertical. Concernant le remplissage des états des variables, nous respectons la règle que nous avons étudiée précédemment : un seul bit doit changer lors du passage d'une ligne à l'autre ou d'une colonne à l'autre.
Transférons maintenant les valeurs booléennes de la sortie F vers la table de Karnaugh. Nous allons suivre un ordre spécifique, qui est valable dans le cas où la table de vérité et la table de Karnaugh sont construites selon la méthode décrite ci-dessus.
Prenons un exemple et remplissons une table de Karnaugh à partir d'une table de vérité qui contient la sortie F.
Après avoir appris à convertir une table de vérité en table de Karnaugh, il nous reste à connaître la méthode d'extraction de l'expression booléenne algébrique simplifiée à partir de la table de Karnaugh, que nous expliquerons dans un autre article
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